ALGEBRA PARA PRINCIPIANTES

Friday, September 29, 2006

INTRODUCCION:

  • El término álgebra viene del título de la obra del mátematico árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi, que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm, al-jebr w'al-muqabalah, que significa transposición y eliminación.
  • El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones.
  • Una de las características del álgebra es que utiliza símbolos para representar números.
  • El álgebra actual trata con entidades mas generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas). Esta nueva álgebra se debe a Galois.

Thursday, September 28, 2006

ECUACIONES:

  • Una expresión algebráica es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.
  • Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.
  • Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los factores del término 5x2 de la expresión algebráica 5x2 + 3x3y3z .
  • Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.
  • Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.
  • El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.
  • Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
  • Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.
  • Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.

Wednesday, September 27, 2006

CONCEPTOS BASICOS DE LAS AGRUPACIONES DE LOS TERMINOS EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

  • Un monomio es una expresión algebraica de un solo término.
    Ejemplos:
    Algunos ejemplos son: 8x, xyt, 1/6x, x
  • Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos separados por los signos de suma o resta.
    Ejemplos:
    7x + y; 2z + a; 5x + y; 2/4x + 2
  • Un trinomio es una expresión algebraica de tres términos separados por los símbolos de suma y de resta.
    Ejemplos:
    2x + b + m; x2 – 4xy + 3y2;
  • Un multinomio es una expresión algebraica de mas de un término.
    Ejemplos:
    2x + b; x2+ 2xy2 + 3z4 – 8y + 3x;
  • Un polinomio es un monomio polinomio o multinomio en el que cada término es entero y racional con respecto a las variables.

  • En un monomio hay un factor numérico y una parte constituida por letras y sus exponentes que se llama parte literal.

    Ejemplos:
    La parte literal de 6x2 es x2.
    La parte literal de 3x es x.
    La parte literal de 12 x2 g5 es x2 g5 .

Monday, September 25, 2006

OPERACIONES BASICAS ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Suma de expresiones algebraicas.

Las sumas de expresiones algebraicas se efectúa mediante la agrupación de términos semejantes. Solo se pueden sumar monomios y el resultado es otro monomio.

Ejemplos:
Sumas de expresiones Resultado
3x + x 4x
5y2 + 3y2 8y2
4x2 + 3x No se puede simplificar ya que
4x2 y 3x no son términos semejantes
2x + 3y + 3x +5 y = Agrupando los términos semejantes en x y en y tenemos:
(2x + 3x) + (3y +5 y) = 5x + 8y




Otra forma en que comúnmente se realizan las sumas es de la siguiente manera:




Como podemos ver, se quitaron primero los paréntesis y después se agruparon en términos semejantes.
La suma se puede realizar con mas de dos expresiones algebraicas, por ejemplo podemos sumar con y , como podemos observar en la última expresión, a diferencia de las otras dos, no se encuentra ningún término con la variable , sin embargo la operación se puede realiza como veremos:





Con la práctica las operaciones de hacen de manera inmediata sin tener que escribir las agrupaciones, sin embargo, el llevar a cabo las agrupaciones ayuda al aprendiz a adquirir la confianza en las operaciones.

Restas de dos expresiones algebraicas.

La resta de dos operaciones algebraicas se realiza de manera similar a como se hace con la suma de operaciones algebraicas, es decir se realizan las restas entre dos términos semejantes

Ejemplos:

1.- Restar de .

Solución:



o


2.- Restas de

Solución:




Multiplicación de expresiones algebraicas

La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, de los signos, las propiedades asociativa y conmutativa del producto.
Como resultado del producto de monomios se obtiene otro monomio.
El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los monomios que intervienen en el producto.
La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto, con el exponente de la respectiva literal igual a la suma de los exponentes.

Ejemplos:
1.-
2.-
3.-


Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, después se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo:

Sea un polinomio arbitrario de grado uno, o monomio, con coeficientes reales (inclusive con ) y
otro polinomio arbitrario de grado n, con coeficientes reales. Obtener el producto de los polinomios:


Otra forma es la siguiente:




Multiplicación de dos polinomios.

La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes, el resultado de la suma de estos productos generan un nuevo polinomio, de grado la suma del grado de ambos polinomios. Generalmente se ordenan ambos polinomios en orden creciente o decrecientes.


Sea un polinomio de grado n, con coeficientes reales y otro polinomio arbitrario de grado m, con coeficientes reales.
Obtener el producto de los polinomios:



Ejemplo:
Multiplicar el polinomio x2 +2x –1 por el siguiente polinomio de grado dos x2 +2x +1.

(x2 +2x –1)·( x2 +2x +1) = x4 +2x3 +x2 +2x3 +4x2 +2x -x2 -2x –1
= x4 +4x3 +4x2 -1

Otra forma es:


Divisiones de expresiones algebraicas.

División de dos monomios.
La división de dos monomio se encuentra hallando el cociente de los coeficientes y el de las variables, el resultado es el producto de los cocientes de los coeficientes por el de las variables.

Sea y donde y son los coeficientes de los respectivos polinomios y los , las variables que pueden o no ser iguales entre si, .
Entonces la división esta expresada como:



La división se realiza de la forma siguiente:
Se realiza la división de los coeficientes entre , si es un entero se escribe directamente en el resultado, si por el contrario, no lo es, se acostumbra dejarlo como fracción.
Si tienen las mismas variables ambos polinomios, se aplican las propiedades de los exponentes para expresar las variables con sus respectivas potencias en el resultado.
· Si no son iguales las variables del numerador con las del denominador, generalmente se dejan como aparecen, aunque también se pueden expresar las variables del numerador subiéndolas al numerador con potencias negativas.

Ejemplo: Dividir entre :



para tener un monomio nuevamente, es necesario dividir por un monomio que tenga las mismas variables y de menor o igual potencia.
Ejemplo: Dividir entre :


División de dos polinomios.
División de un polinomio entre un monomio.

La división de un polinomio entre un monomio se realiza sumando a sumando, en el caso de que existan las mismas variables.

Ejemplos:









División entre polinomios

Para la división de dos polinomios, por la división larga, se siguientes pasos :
Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes ( o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.
· Se divide el primer término de dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente.

· E resultado del cociente se multiplica por el divisor, para después restar este producto del dividendo.
· Una vez realizado esta resta, hora se centra la atención en este resultado, se divide entre el divisor para formar el segundo termino del cociente.
· Se multiplica nuevamente este resultado por el divisor, restándolo nuevamente del anterior resultado.
· Esto se realiza de manera consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a un polinomio menor que el divisor.
· Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor son factores del dividendo.


Ejemplo:

Thursday, September 21, 2006

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y UNA INCOGNITA:



Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:

  • Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y UNA INCOGNITA:

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

  • Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b
  • Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

CLASIFICACION DE ECUACIONES:

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el número de incógnitas.

  • Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.
  • Las ecuaciones con una incognita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

    b) Por el grado de la incógnita.
  • Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).
  • Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:
  • Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
  • Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:
    x1 + x2 + ... + xn = -a1
    x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
    x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3
    ..................................
    x1x2...xn = (-1)nan
  • Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

    c) Por el número de términos
  • c1) Ecuaciones binómicas:
    Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.
  • c2) Ecuaciones polinómicas:
    Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

OPERACIONES BASICAS DE ALGEBRA

Thursday, September 14, 2006

JERARQUIA DE SIGNOS


APUNTES Y CONSULTA DE TEMAS DE ALGEBRA DIRIGIDOS A ESTUDIANTES DE ENSEÑANZA MEDIA, PRINCIPIOS, CONCEPTOS, BASES, ETC.