ALGEBRA PARA PRINCIPIANTES

Monday, September 25, 2006

OPERACIONES BASICAS ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Suma de expresiones algebraicas.

Las sumas de expresiones algebraicas se efectúa mediante la agrupación de términos semejantes. Solo se pueden sumar monomios y el resultado es otro monomio.

Ejemplos:
Sumas de expresiones Resultado
3x + x 4x
5y2 + 3y2 8y2
4x2 + 3x No se puede simplificar ya que
4x2 y 3x no son términos semejantes
2x + 3y + 3x +5 y = Agrupando los términos semejantes en x y en y tenemos:
(2x + 3x) + (3y +5 y) = 5x + 8y




Otra forma en que comúnmente se realizan las sumas es de la siguiente manera:




Como podemos ver, se quitaron primero los paréntesis y después se agruparon en términos semejantes.
La suma se puede realizar con mas de dos expresiones algebraicas, por ejemplo podemos sumar con y , como podemos observar en la última expresión, a diferencia de las otras dos, no se encuentra ningún término con la variable , sin embargo la operación se puede realiza como veremos:





Con la práctica las operaciones de hacen de manera inmediata sin tener que escribir las agrupaciones, sin embargo, el llevar a cabo las agrupaciones ayuda al aprendiz a adquirir la confianza en las operaciones.

Restas de dos expresiones algebraicas.

La resta de dos operaciones algebraicas se realiza de manera similar a como se hace con la suma de operaciones algebraicas, es decir se realizan las restas entre dos términos semejantes

Ejemplos:

1.- Restar de .

Solución:



o


2.- Restas de

Solución:




Multiplicación de expresiones algebraicas

La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, de los signos, las propiedades asociativa y conmutativa del producto.
Como resultado del producto de monomios se obtiene otro monomio.
El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los monomios que intervienen en el producto.
La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto, con el exponente de la respectiva literal igual a la suma de los exponentes.

Ejemplos:
1.-
2.-
3.-


Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, después se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo:

Sea un polinomio arbitrario de grado uno, o monomio, con coeficientes reales (inclusive con ) y
otro polinomio arbitrario de grado n, con coeficientes reales. Obtener el producto de los polinomios:


Otra forma es la siguiente:




Multiplicación de dos polinomios.

La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes, el resultado de la suma de estos productos generan un nuevo polinomio, de grado la suma del grado de ambos polinomios. Generalmente se ordenan ambos polinomios en orden creciente o decrecientes.


Sea un polinomio de grado n, con coeficientes reales y otro polinomio arbitrario de grado m, con coeficientes reales.
Obtener el producto de los polinomios:



Ejemplo:
Multiplicar el polinomio x2 +2x –1 por el siguiente polinomio de grado dos x2 +2x +1.

(x2 +2x –1)·( x2 +2x +1) = x4 +2x3 +x2 +2x3 +4x2 +2x -x2 -2x –1
= x4 +4x3 +4x2 -1

Otra forma es:


Divisiones de expresiones algebraicas.

División de dos monomios.
La división de dos monomio se encuentra hallando el cociente de los coeficientes y el de las variables, el resultado es el producto de los cocientes de los coeficientes por el de las variables.

Sea y donde y son los coeficientes de los respectivos polinomios y los , las variables que pueden o no ser iguales entre si, .
Entonces la división esta expresada como:



La división se realiza de la forma siguiente:
Se realiza la división de los coeficientes entre , si es un entero se escribe directamente en el resultado, si por el contrario, no lo es, se acostumbra dejarlo como fracción.
Si tienen las mismas variables ambos polinomios, se aplican las propiedades de los exponentes para expresar las variables con sus respectivas potencias en el resultado.
· Si no son iguales las variables del numerador con las del denominador, generalmente se dejan como aparecen, aunque también se pueden expresar las variables del numerador subiéndolas al numerador con potencias negativas.

Ejemplo: Dividir entre :



para tener un monomio nuevamente, es necesario dividir por un monomio que tenga las mismas variables y de menor o igual potencia.
Ejemplo: Dividir entre :


División de dos polinomios.
División de un polinomio entre un monomio.

La división de un polinomio entre un monomio se realiza sumando a sumando, en el caso de que existan las mismas variables.

Ejemplos:









División entre polinomios

Para la división de dos polinomios, por la división larga, se siguientes pasos :
Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes ( o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.
· Se divide el primer término de dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente.

· E resultado del cociente se multiplica por el divisor, para después restar este producto del dividendo.
· Una vez realizado esta resta, hora se centra la atención en este resultado, se divide entre el divisor para formar el segundo termino del cociente.
· Se multiplica nuevamente este resultado por el divisor, restándolo nuevamente del anterior resultado.
· Esto se realiza de manera consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a un polinomio menor que el divisor.
· Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor son factores del dividendo.


Ejemplo:

1 Comments:

Blogger Ruperto said...

Hola, ¿Perdon, pero dónde están los ejemplos y los ejercicios y las respuestas?

3:27 AM  

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